Теоремы о единственности предела последовательности и ограниченности сходящейся последовательности.

$\exists{\lim_{n \to \infty} a_{n}}~~ \Rightarrow ! \lim_{n \to \infty} a_{n}$

От противного: $a = \lim_{n \to \infty} a_{n},~~~ b = \lim_{n \to \infty} a_{n},~~~ a \neq b$. Б.О.О. $a < b$ Пусть $\epsilon = \dfrac{b-a}{3} > 0$, тогда по определениям пределов $a$ и $b$: $$ \begin{cases} \exists{N_1}~~ \forall{n > N_1}~~ |a_{n} - a| < \epsilon \Rightarrow a_{n}<a+\epsilon \\ \exists{N_2}~~ \forall{n > N_2}~~ |a_{n} - b| < \epsilon \Rightarrow b-\epsilon < a_{n} \\ \end{cases} $$ Пусть $n > max(N_{1}, N_{2})$, тогда: $$\begin{cases} a_{n} < a + \dfrac{b-a}{3} \\ b - \dfrac{b-a}{3} < a_{n} \\ \end{cases}$$ $$\begin{cases} a_{n} < \dfrac{2a+b}{3} \\ \dfrac{2b+a}{3} < a_{n} \\ \end{cases}$$ $$\dfrac{2b+a}{3}<\dfrac{2a+b}{3} \Rightarrow 2b+a<2a+b \Rightarrow b<a$$ Пришли к противоречию. $\square$

Если $\{a_{n}\}$ сходится, то $\{a_{n}\}$ - ограничена

Пусть $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a,~~~ \epsilon = 10 > 0$, тогда: $\exists{N}~~ \forall{n>N}~~ |a_{n} - a| < 10 \Rightarrow |a_{n}| < |a| + 10$ Пусть $L = max\{|a_{1}|, |a_{2}|, ..., |a_{[N]}|, |a| + 10\}$, тогда: $\forall{n \in \mathbb{N}}~~ |a_{n}| \leq L \Rightarrow$ последовательность ограничена. $\square$